O nome Álgebra Booleana é em homenagem ao matemático inglês George Boole (1815 - 1864) que em 1854, publicou o livro Invetigação das leis do pensamento que trata de aplicação de fórmulas matemáticas para descrever operações de lógica e de probabilidades, base das atuais operações internas do computador.
Variáveis
Na fórmula algébrica comum as variáveis podem assumir qualquer valor numérico.
Na booleana apenas dois: 0 ou 1, verdadeiro ou falso. A algebra boolena se assenta em dois princípios fundamentais: Princípio da não contradição: Uma proposição não pode ser, simultaneamente, verdadeira e falsa; Princípio do terceiro excluído: Uma proposição só pode assumir um dos dois valores possíveis: ou é verdadeira ou é falsa, excluindo-se uma terceira hipótese.
Operações lógicas
Os conectivos ou operadores lógicos são representados por: OU, E e NÃO (OR, AND e NOT) e pelos sinais:
+ ou v equivalem ao operador OU ou OR;
. ou ^ equivalem ao operador E ou AND;
— (barra horizontal sobre o termo) equivale ao operador NÃO ou NOT.
Adição e multiplicação lógica
Adição
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1
Sinais de operação:
+ ou v, lê-se OU
Multiplicação
0 . 0 = 0
0 . 1 = 0
1 . 0 = 0
1 . 1 = 0
Sinais de operação:
. ou ^, lê-se E.
Operações em circuitos de relés
A Álgebra booleana se presta para projetos de circuitos de chaveamento com relés e hoje adequa-se para projeto de circuitos elétricos e eletrônicos dos computadores digitais.
Adição lógica
Circuito em paralelo
X + Y = L
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1
A lâmpada (L) será acesa se uma das chaves X ou Y ou ambas estiverem fechadas ou ligadas.
Representação: 0, aberto ou desligado; 1, fechado ou ligado.
Multiplicação lógica
Circuito em série
X . Y = L
0 . 0 = 0
0 . 1 = 0
1 . 0 = 0
1 . 1 = 1
A lâmpada (L) será acesa somente se ambas as chaves X e Y estiverem fechadas ou ligadas.
Representação: 0, aberto ou desligado; 1, fechado ou ligado.
Adição e multiplicação lógicas
Circuito em série e paralelo
Z . (X + Y) = L
0 . (0 + 0) = 0
0 . (0 + 1) = 0
0 . (1 + 0) = 0
0 . (1 + 1) = 0
1 . (0 + 0) = 0
1 . (0 + 1) = 1
1 . (1 + 0) = 1
1 . (1 + 1) = 1
A lâmpada (L) será acesa se a chave Z e se uma das chaves X ou Y ou ambas estiverem fechadas ou ligadas.
Representação: 0, aberto ou desligado; 1, fechado ou ligado.
Portas lógicas
Porta lógica é um circuito eletrônico que opera com um ou mais sinais de entrada para produzir um sinal de saída. Portas lógicas, funções ou circuitos lógicos são representados através da combinação de símbolos padrões que formam diagramas de circuitos lógicos.
Portas "Ou" (OR) e portas "E" (AND)
As operações "+" e "." são fisicamente realizadas pelos circuitos eletrônicos chamados Portas OU e Portas E.
A porta OU produz uma soma lógica e a porta E, uma multiplicação lógica.
Complemento ou Inversor
O complemento é uma operação unitária que envolve apenas um elemento ou variável. O complemento ou Inversor também denominado de porta lógica NOT executa a função lógica NOT.
A operação de complemento é fisicamente realizada por um circuito Inversor.
Porta "Não-E" (Not And) e Porta "Não-OU" (Not Or)
Porta "Não-E" (Not And)
A operação da porta Não-E (NE) ou Not-And (NAND) é equivalente a operação da porta E seguida de um Inversor.
Porta "Não-OU" (Not Or)
De maneira semelhante, a operação da porta Não-OU (NOU) ou Not OR (NOR) é equivalente a operação da porta OU seguida de um Inversor.
Regras de portas "Não-E" (Not And) e "Não-OU" (Not Or)
A Porta NE terá uma saída:
0, se todas as entradas forem 1
1, se uma das entradas for 0
A Porta NOU terá uma saída:
0, se uma as entradas for 1
1, se todas as entradas forem 0
Expressões lógicas e tabelas verdade
Dada a expressão abaixo, preparar uma tabela de valores para as variáveis.
Expressão:
Solução:
Procedimento para obtenção da tabela acima:
Inicialmente, faz-se uma relação das variáveis envolvidas na expressão dada, construindo as colunas X, Y e Z e, em seguida, relacionar todas combinações de valores das variáveis boolenas, de preferência em ordem binária crescente. A partir daí, constrói-se as demais colunas segundo orientação da expressão requerida. Neste caso, a coluna não Z (ou Z com uma barra horizontal sobreposta) deve receber os valores inversos dos indicados na coluna Z. Os valores da coluna Y e não Z, segundo membro da expressão, são obtidos pela multiplicação dos valores da coluna Y e não Z. E por fim, apura-se os valores da expressão dada, efetuando a soma lógica dos valores da colunas correspondentes.
Algumas regras de álgebra booleana
Circuitos lógicos
Os circuitos lógicos são divididos em duas classes:
Circuitos combinatórios ou combinacionais (CC): São aqueles cuja saída depende apenas dos valores atuais das entradas.
Circuitos seqüenciais (CS): São aqueles cuja saída depende dos valores atuais e dos valores anteriores das entradas. Possuem uma espécie de memória interna.
Circuito lógico combinatório
As portas OU, E e Inversores podem ser combinados ou interligados para formar circuitos lógicos ou circuitos portas ou redes.
Exemplos:
Circuitos somadores
Semi-somador (SS)
Esquema geral:
Esquema aberto:
A expressão lógica para o circuito Semi-somador é:
Somador
Fórmula e exemplo:
Exercícios
Preparar tabelas-verdade para as seguintes expressões de álgebra booleana:
Dado os seguintes pares de seqüências como entrada: A = 0101 e B = 0011, determinar as saídas produzidas pelos circuitos representados pelos diagramas abaixo:
(Respostas:
(Respostas:
(Respostas:
(Respostas: