Lógica matemática

A lógica matemática trata do estudo das sentenças declarativas também conhecidas como proposições e tem por objetivo elaborar procedimentos que permitam obter um raciocínio correto na investigação da verdade, distinguindo os argumentos válidos daqueles que não o são.
O filósofo grego Aristóteles (384 - 322 a.C.) iniciou o estudo da lógica, fazendo uma representação do processo do pensamento. No século XIX o matemático inglês George Boole (1815 - 1864), criador da Álgebra Booleana, descreveu operações de lógica e de probabilidades, base da atual aritmética computacional.

Proposição

Proposição - é um conjunto de palavras ou símbolos que exprime um pensamento de sentido completo, de modo que se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso.
A lógica matemática se assenta em dois princípios fundamentais:
Princípio da não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo;
Princípio do terceiro excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou falsa, excluindo-se qualquer outro valor.

Somente às sentenças declarativas pode-se atribuir valores de verdadeiro ou falso, que ocorre quando a sentença é confirmada ou negada, respectivamente. Não se pode atribuir um valor de verdadeiro ou falso às demais formas de sentenças como as interrogativas, as exclamativas e outras, embora elas também expressem pensamentos ou juízos.

As proposições classificam-se em simples ou atômicas e compostas ou moleculares.

Proposição simples — É um pensamento singular sem integrar qualquer outra proposição.
Exemplos:
Antônio é estudante.
José é solteiro.

Proposição composta — É formada pela combinação de duas ou mais proposições simples. Exemplos:
Maria é professora e Pedro é mecânico.
Se o carro é novo, então está em boa condição de uso.

As proposições simples são geralmente designadas pelas letras minúsculas p, q, r, s, ... e as compostas pelas letras maiúsculas P, Q, R, S, ...

Conectivos e valores lógicos

Conectivos:	(Termos usados para formar novas proposições a partir de outras existentes.)
	"e", "ou", "não", "se... então... ", "se e somente se ..."

Valores lógicos das proposições:

Verdade (V) e Falsidade (F).

Tabelas verdade

A Tabela verdade é um instrumento usado para determinar os valores lógicos das proposições compostas, a partir de atribuições de todos os possíveis valores lógicos das proposições simples componentes.
A primeira das tabelas abaixo apresenta duas proposições simples: p e q e a segunda, três proposições simples: p, q e r. As células de ambas as tabelas são preenchidas com valores lógicos V e F, de modo a esgotar todas as possíveis combinações. O número de linhas da tabela pode ser previsto efetuando o cálculo: 2 elevado ao número de proposições simples. Nos exemplos abaixo tem-se 2²= 4 linhas e 2³= 8 linhas.

p	q
V	V
V	F
F	V
F	F

p	q	r
V	V	V
V	V	F
V	F	V
V	F	F
F	V	V
F	V	F
F	F	V
F	F	F

Valor lógico da proposição

Notação: O valor lógico de uma proposição simples indica-se por V(p) e composta por V(P) (letra maiúscula).

Exemplos de proposições simples:	p : um triângulo têm três lados.
	q : Blumenau é um país.
V(p) = V V(q) = F (Lê-se valor lógico de p é igual a V (verdadeiro) e de q é igual a F (falso))

Exemplo de proposição composta:	p : o sol é uma estrela ou
	q : a terra é uma estrela.
P(p,q) = p v q V(P) = V (O símbolo "v" representa o conectivo "ou" visto abaixo)

Operações lógicas

Os valores lógicos das proposições são definidos pelas tabelas descritas em cada operação a seguir.

Negação (~) "~p" lê-se "não p".

Exemplo:

	p : Joana é bonita
	~p : Joana não é bonita
ou	~p : Não é verdade que Joana é bonita
ou	~p : É falso que Joana é bonita

p	~p
V	F
F	V

Conjunção (^) "p ^ q" lê-se "p e q".

Exemplo:

	p : A neve é branca (V)
	q : 2 < 5 (V)
	p ^ q : A neve é branca e 2 < 5 (V)
Representação:
	V(p ^ q) = V(p) ^ V(q) = V ^ V = V
Leitura:

p	q	p ^ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Valor lógico de (p e q) é igual a ou, de outro modo, valor lógico de (p) e valor lógico de(q) é igual a ou resulta em verdade e verdade que é igual a verdade.

Disjunção (v) "p v q" lê-se "p ou q".

Exemplo:

	p : Blumenau é a capital de SC (F)
	q : 5/7 é uma fração própria (V)
	p v q : Blumenau é a capital de SC ou 5/7 é uma fração própria (V)

	V(p v q) = V(p) v V(q) = F v V = V

p	q	p v q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Disjunção exclusiva (v) "p v q" lê-se "ou p ou q", mas não ambos ou ainda "ou exclusivo".

p	q	p v q
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

O valor lógico é Falso(F)

quando p e q são ambas

verdadeiras ou ambas falsas.

Exemplo:

	P : Carlos é médico ou professor
	Q : Antônio é catarinense ou gaúcho.

Na proposição composta P pelo menos uma das proposições simples é verdadeira, podendo ser ambas verdadeiras. ("ou" inclusivo).

Na proposição composta Q apenas uma das proposições é verdadeira. ("ou" exclusivo).

Condicional (—>) "p —> q" lê-se "se p então q" ("—>" símbolo de implicação).

p	q	p —> q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

O valor lógico é Falso(F) no caso

em que p é verdadeira e q é falsa.

Exemplo:

	p : A terra é uma estrela (F)
	q : O ano tem nove meses (F)
	p —> q : Se a terra é uma estrela, então o ano tem nove meses (V)

	V(p —> q) = V(p) —> V(q) = F —> F = V

Bicondicional (<—>) "p <—> q" lê-se "p se e somente se q".

p	q	p <–> q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Uma bicondicional é verdadeira somente quando ambas proposições são verdadeiras ou ambas falsas.
(p é condição necessária e suficiente para q ou q é condição necessária e suficiente para p).

Exemplo:

	p : A terra é plana (F)
	q : 10 é um número primo (F)
	p <—> q : A terra é plana se e somente se 10 for um número primo (V)

	V(p <—> q) = V(p) <—> V(q) = F <—> F = V

Construção de tabelas verdade

a) Construir a tabela verdade da seguinte proposição: P(p,q) = ~(p ^ ~q).
Solução:

p	q	~q	p ^ ~q	~(p ^ ~q)
V	V	F	F	V
V	F	V	V	F
F	V	F	F	V
F	F	V	F	V

Procedimento:

Para determinar os valores lógicos de uma proposição composta, deve-se antes relacionar em colunas as proposições simples envolvidas e dar a elas todos os valores lógicos combinados, podendo seguir a ordem na qual se começa estabelecendo na primeira linha o valor lógico Verdade para todas as variáveis, na segunda linha repete-se os valores, exceto para coluna mais a direita que recebe o valor lógico F e, assim, seguir alternando os valores até especificar na última linha o valor F para todas as proposições simples.

No exemplo acima, inicialmente, foram colunadas as proposições simples p e q e determinados todos os valores lógicos. Em seguida, foi criada a próxima coluna ~q e definidos seus valores, aplicando a operação de negação ou inversão com base nos valores da coluna q. O passo seguinte foi abrir a coluna p ^ ~q e determinar seus valores, efetuando a operação de conjunção considerando os valores das colunas p e ~q. No próximo e último passo criou-se a coluna
~(p ^ ~q) e estabelecidos seus valores, negando ou invertendo o conteúdo da coluna anterior.

Formas de indicar o resultado da proposição composta da tabela acima:

P(VV) = V, P(VF) = F, P(FV) = V, P(FF) = V ou P(VV, VF, FV, FF) = VFVV

b) Construir a tabela verdade da proposição: P(p,q,r) = p v ~r —> q ^ ~r.
Solução:

p	q	r	~r	p v ~r	q ^ ~r	p v ~r —> q ^ ~r
V	V	V	V	V	F	F
V	V	F	V	V	V	V
V	F	V	F	V	F	F
V	F	F	V	V	F	F
F	V	V	F	F	F	V
F	V	F	V	V	V	V
F	F	V	F	F	F	V
F	F	F	V	V	F	F

A tabela verdade desenvolvida acima precisou de oito linhas (2³) para dispor todos seus valores lógicos, uma vez que a proposição composta envolve tres proposições simples: p, q e r.

Ordem de precedência dos conectivos:

A precedência é o critério que especifica a ordem de avaliação dos conectivos ou operadores lógicos de uma expressão qualquer. A lógica matemática prioriza as operações de acordo com a ordem listadas abaixo.
1) ~ 2) ^ e v 3) —> 4) <—>.

Parênteses podem ser utilizados para determinar uma forma específica de avaliação de uma proposição.
A proposição p —> q <—> s ^ r, por exemplo, é bicondicional e nunca uma condicional ou uma conjunção. Para convertê-la numa condicional deve-se usar parênteses: p —> (q <—> s ^ r).

Tautologia, contradição e contingência

Tautologia - proposição composta cuja última coluna de sua tabela verdade encerra somente a letra V(verdade). Exemplo: p v ~(p ^ q).

Contradição - proposição composta cuja última coluna de sua tabela verdade encerra somente a letra F(falsidade). Exemplo: (p ^ q) ^ ~(p v q).

Contingência - proposição composta cuja última coluna de sua tabela verdade figuram as letras V e F cada uma pelo menos uma vez. Exemplo: p v q —> p.

Equivalência

Uma proposição P(p, q, r, ...) é equivalente a uma proposição Q(p, q, r, ...) se as tabelas verdade dessas duas proposições são idênticas.

Notação: P(p, q, r, ...) <==> Q(p, q, r, ...).

Exemplo: A condicional "p —> q" e a disjunção "~p v q" são equivalentes como expõe sua tabela verdade:

p	q	p —> q	~p	~p v q
V	V	V	F	V
V	F	F	F	F
F	V	V	V	V
F	F	V	V	V

Equivalência: p—> q <==> ~p v q

Proposições associadas a uma condicional

	Proposição recíproca de	p —> q : q —> p
	Proposição contrária de	p —> q : ~p —> ~q
	Proposição contrapositiva de	p —> q : ~q —> ~p

p	q	p —> q	q —> p	~p —> ~q	~q —> ~p
V	V	V	V	V	V
V	F	F	V	V	F
F	V	V	F	F	V
F	F	V	V	V	V

Equivalências: p —> q <==> ~q —> ~p e q —> p <==> ~p —> ~q

A condicional (p —> q) é equivalente a sua contrapositiva (~q —> ~p) e a recíproca da condicional (q —> p) é equivalente à contrária da condicional (~p —> ~q).

Recíproca da condicional

Exemplo:

p —> q : Se triângulo é eqüilátero, então é isósceles.

A recíproca da condicional é

q —> p : Se triângulo é isósceles, então é eqüilátero.

(A condicional p —> q é verdadeira (V), mas sua recíproca q –> p é falsa (F)).

Contrapositiva da condicional

Exemplos:

p —> q : Se Carlos é professor, então é pobre.

A contrapositiva é

~q —> ~p : Se Carlos não é pobre, então não é professor.

Portanto, (p —> q <==> ~q —> ~p) (Proposições equivalentes).

p : x é menor que zero

q : x é negativo

q —> p : Se x é negativo,então x é menor que zero.

A contrapositiva é

~p —> ~q : Se x não é menor que zero, então x não é negativo.

Portanto, (q —> p <==> ~p —> ~q) (Proposições equivalentes).

Forma normal das proposições

Uma proposição está na forma normal (FN) quando contém apenas os conectivos ~, ^ e v.

Toda proposição pode ser levada para a forma normal equivalente pela eliminação dos conectivos —> e <—>.

Exemplos:

p —> q = ~p v q

p <—> q = (~p v q) ^ (p v ~q)

Pode-se comprovar esta afirmação de igualdade acima construindo as respectivas tabelas verdade.

Exercícios

(Para obter as respostas posicione o cursor sobre a letra da expressão)

1. Sejam as proposições:

p : Está frio e q : Está chovendo.

Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições:

a) ~p b) p ^ q c) p v q

d) q <—> p e) p —> ~q f) p v ~q

g) ~p ^ ~q h) p ^ ~q —> p

2. A partir das proposições p : Antônio é rico e q : José é feliz, traduzir para a linguagem corrente as proposições a seguir:

a) q —> p b) p v ~q c) q <—> ~p

d) ~p —> q e) ~~p f) p ^ q

3. Sejam as proposições:

p : Carlos fala francês, q : Carlos fala inglês e

r : Carlos fala alemão.

Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:

a) Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemão

b) Carlos fala francês e inglês, ou não fala francês e alemão

c) É falso que Carlos fala francês mas não que fala alemão

d) É falso que Carlos fala inglês ou alemão mas não que fala francês

4. A partir das proposições p : Maria é rica e q : Maria é feliz, traduzir para a linguagem simbólica as proposições:

a) Maria é pobre, mas feliz

b) Maria é rica ou infeliz

c) Maria é pobre e infeliz

d) Maria é pobre ou rica, mas é infeliz

5. Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições:

a) ~(p v ~q) b) p ^ q —> p v q

c) ~p ^ r —> q v ~r d) (p ^ ~q) v r

6. Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente F e V,

determinar o valor lógico da proposição:

(p ^ (~q —> p)) ^ ~((p v ~q) —> q v ~p)

(Para obter a resposta posicione o cursor sobre o número da questão)

7. Mostrar que a seguinte proposição é tautológica: p ^ r —> q v r

8. Mostrar que a seguinte proposição é contradição: (p ^ q) ^ ~(p v q)

Bibliografia

ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à lógica matemática. 18 ed. São Paulo : Nobel, 2000.202p.
FÁVARO, Silvio; KMETEUK FILHO, Osmir. Noções de lógica e matemática básica. São Paulo : Ciência Moderna, 2005. 224p.

Eletrônica:

http://www.angelfire.com/bc/fontini/logica.html
http://mjgaspar.sites.uol.com.br/logica/logica#listapref